高考_高考数学真题试卷_2022高考数学真题（包）_全国乙卷_2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）*

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题*后，用铅笔把答题卡上对应题目的*标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它*标号.回答非选择题时，将*写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集false，*M满足false，则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】A【解析】【分析】先写出*false,然后逐项验*即可【详解】由题知false,对比选项知，false正确,false错误故选:false2.已知false，且false，其中a，b为实数，则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】A【解析】【分析】先算出false,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】falsefalse由false,得false,即false故选:false3.已知向量false满足false，则false（）A.falseB.falseC.1D.2【*】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵false，又∵false∴9false，∴false故选：C.4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列false：false，false，false，…，依此类推，其中false．则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】根据false，再利用数列false与false的关系判断false中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为false，所以false，false，得到false，同理false，可得false，false又因为falsefalse，故false，false；以此类推，可得false，false，故A错误；false，故B错误；false，得false，故C错误；false，得false，故D正确.故选：D.5.设F为抛物线false的焦点，点A在C上，点false，若false，则false（）A.2B.falseC.3D.false【*】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点false的横坐标，进而求得点false坐标，即可得到*.【详解】由题意得，false，则false，即点false到准线false的距离为2，所以点false的横坐标为false，不妨设点false在false轴上方，代入得，false，所以false故选：B6.执行下边的程序框图，输出的false（）A.3B.4C.5D.6【*】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，false，false，false；执行第二次循环，false，false，false；执行第三次循环，false，false，false，此时输出false.故选：B7.在正方体false中，E，F分别为false的中点，则（）A.平面false平面falseB.平面false平面falseC.平面false平面falseD.平面false平面false【*】A【解析】【分析】*false平面false，即可判断A；如图，以点false为原点，建立空间直角坐标系，设false，分别求出平面false，false，false的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体false中，false且false平面false，又false平面false，所以false，因为false分别为false的中点，所以false，所以false，又false，所以false平面false，又false平面false，所以平面false平面false，故A正确；如图，以点false为原点，建立空间直角坐标系，设false，则false，false，则false，false，false设平面false的法向量为false，则有false，可取false，同理可得平面false的法向量为false，平面false的法向量为false，平面false的法向量为false，则false，所以平面false与平面false不垂直，故B错误；因为false与false不平行，所以平面false与平面false不平行，故C错误；因为false与false不平行，所以平面false与平面false不平行，故D错误，故选：A.8.已知等比数列false的前3项和为168，false，则false（）A.14B.12C.6D.3【*】D【解析】【分析】设等比数列false的公比为false，易得false，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列false的公比为false，若false，则false，与题意矛盾，所以false，则false，解得false，所以false.故选：D.9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】C【解析】【分析】先*当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为false，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为false，则false（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为false又false则false当且仅当false即false时等号成立，故选：C10.某棋手与*、乙、*三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互*．已知该棋手与*、乙、*比赛获胜的概率分别为false，且false．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和*、乙、*的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与*比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与*比赛，p最大【*】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与*比赛且连胜两盘的概率false；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率false；该棋手在第二盘与*比赛且连胜两盘的概率false.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与*比赛，且连胜两盘的概率为false则false记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为false则false记该棋手在第二盘与*比赛，且连胜两盘的概率为false则false则falsefalse即false，false，则该棋手在第二盘与*比赛，false最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；false与该棋手与*、乙、*的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D11.双曲线C的两个焦点为false，以C的实轴为直径的圆记为D，过false作D的切线与C交于M，N两点，且false，则C的离心率为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在false轴，设过false作圆false的切线切点为false，可判断false在双曲线的右支，设false，false，即可求出false，false，false，在false中由false求出false，再由正弦定理求出false，false，最后根据双曲线的定义得到false，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在false轴，设过false作圆false的切线切点为false，所以false，因为false，所以false在双曲线的右支，所以false，false，false，设false，false，由false，即false，则false，false，false，在false中，falsefalse，由正弦定理得false，所以false，false又false，所以false，即false，所以双曲线的离心率false故选：C12.已知函数false的定义域均为R，且false．若false的图像关于直线false对称，false，则false（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】根据对称*和已知条件得到false，从而得到false，false，然后根据条件得到false的值，再由题意得到false从而得到false的值即可求解.【详解】因为false的图像关于直线false对称，所以false，因为false，所以false，即false，因为false，所以false，代入得false，即false，所以false，false.因为false，所以false，即false，所以false.因false，所以false，又因为false，联立得，false，所以false的图像关于点false中心对称，因为函数false的定义域为R，所以false因为false，所以false.所以false.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.从*、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则*、乙都入选的概率为____________．【*】false##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为false*、乙都入选的方法数为false，所以*、乙都入选的概率false故*为：false14.过四点false中的三点的一个圆的方程为____________．【*】false或false或false或false；【解析】【分析】设圆的方程为false，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为false，若过false，false，false，则false，解得false，所以圆的方程为false，即false；若过false，false，false，则false，解得false，所以圆的方程为false，即false；若过false，false，false，则false，解得false，所以圆的方程为false，即false；若过false，false，false，则false，解得false，所以圆的方程为false，即false；故*为：false或false或false或false；15.记函数false的最小正周期为T，若false，false为false的零点，则false的最小值为____________．【*】false【解析】【分析】首先表示出false，根据false求出false，再根据false为函数的零点，即可求出false的取值，从而得解；【详解】解：因为false，（false，false）所以最小正周期false，因为false，又false，所以false，即false，又false为false的零点，所以false，解得false，因为false，所以当false时false；故*为：false16.已知false和false分别是函数false（false且false）的极小值点和极大值点．若false，则a的取值范围是____________．【*】false【解析】【分析】由false分别是函数false的极小值点和极大值点，可得false时，false，false时，false，再分false和false两种情况讨论，方程false的两个根为false，即函数false与函数false的图象有两个不同的交点，构造函数false，根据导数的结合意义结合图象即可得出*.【详解】解：false，因为false分别是函数false的极小值点和极大值点，所以函数false在false和false上递减，在false上递增，所以当false时，false，当false时，false，若false时，当false时，false，则此时false，与前面矛盾，故false不符合题意，若false时，则方程false的两个根为false，即方程false的两个根为false，即函数false与函数false的图象有两个不同的交点，令false，则false，设过原点且与函数false的图象相切的直线的切点为false，则切线的斜率为false，故切线方程为false，则有false，解得false，则切线的斜率为false，因为函数false与函数false的图象有两个不同的交点，所以false，解得false，又false，所以false，综上所述，false的范围为false.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、*过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记false的内角false的对边分别为false，已知false．（1）*：false；（2）若false，求false的周长．【*】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得*；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出false，从而可求得false，即可得解.【小问1详解】*：因为false，所以false，所以false，即false，所以false；【小问2详解】解：因为false，由（1）得false，由余弦定理可得false，则false，所以false，故false，所以false，所以false的周长为false.18.如图，四面体false中，false，E为false的中点．（1）*：平面false平面false；（2）设false，点F在false上，当false的面积最小时，求false与平面false所成的角的正弦值．【*】（1）*过程见解析（2）false与平面false所成的角的正弦值为false【解析】【分析】（1）根据已知关系*false，得到false，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可*；（2）根据勾股定理逆用得到false，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为false，E为false的中点，所以false；在false和false中，因为false，所以false，所以false，又因为E为false的中点，所以false；又因为false平面false，false，所以false平面false，因为false平面false，所以平面false平面false.【小问2详解】连接false，由（1）知，false平面false，因为false平面false，所以false，所以false，当false时，false最小，即false的面积最小.因为false，所以false，又因为false，所以false是等边三角形，因为E为false的中点，所以false，false，因为false，所以false,在false中，false，所以false.以false为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系false，则false，所以false，设平面false的一个法向量为false，则false，取false，则false，又因为false，所以false，所以false，设false与平面false所成的角的正弦值为false，所以false，所以false与平面false所成的角的正弦值为false.19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：false）和材积量（单位：false），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积false0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量false0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得false．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为false．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数false．【*】（1）false；false（2）false（3）false【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值false样本中10棵这种树木的材积量的平均值false据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为false，平均一棵的材积量为false【小问2详解】falsefalse则false【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为false，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得false，解之得false．则该林区这种树木的总材积量估计为false20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过false两点．（1）求E的方程；（2）设过点false的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足false．*：直线HN过定点．【*】（1）false（2）false【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E的方程为false，过false，则false，解得false，false，所以椭圆E的方程为：false.【小问2详解】false，所以false，①若过点false的直线斜率不存在，直线false.代入false，可得false，false，代入AB方程false，可得false，由false得到false.求得HN方程：false，过点false.②若过点false的直线斜率存在，设false.联立false得false，可得false，false，且false联立false可得false可求得此时false，将false，代入整理得false，将false代入，得false显然成立，综上，可得直线HN过定点false【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再*这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数false（1）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；（2）若false在区间false各恰有一个零点，求a的取值范围．【*】（1）false（2）false【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对false分类讨论,对false分false两部分研究【小问1详解】false的定义域为false当false时,false,所以切点为falsefalse,所以切线斜率为2所以曲线false在点false处的切线方程为false小问2详解】falsefalse设falsefalse若false,当false,即false所以false在false上单调递增,false故false在false上没有零点,不合题意false若false,当false,则false所以false在false上单调递增所以false,即false所以false在false上单调递增,false故false在false上没有零点,不合题意false若false(1)当false,则false,所以false在false上单调递增false所以存在false,使得false,即false当false单调递减当false单调递增所以当false当false所以false在false上有唯一零点又false没有零点,即false在false上有唯一零点(2)当false设falsefalse所以false在false单调递增false所以存在false,使得false当false单调递减当false单调递增,false又false所以存在false,使得false,即false当false单调递增,当false单调递减有false而false,所以当false所以false在false上有唯一零点,false上无零点即false在false上有唯一零点所以false,符合题意所以若false在区间false各恰有一个零点,求false的取值范围为false【点睛】方法点睛：本题的关键是对false的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系false中，曲线C的参数方程为false，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为false．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【*】（1）false（2）false【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【小问1详解】因l：false，所以false，又因为false，所以化简为false，整理得l的直角坐标方程：false【小问2详解】联立l与C的方程，即将false，false代入false中，可得false，所以false，化简为false，要使l与C有公共点，则false有解，令false，则false，令false，false，对称轴为false，开口向上，所以false，false，所以falsem的取值范围为false.[选修45：不等式选讲]23.已知a，b，c都是正数，且false，*：（1）false；（2）false；【*】（1）*见解析（2）*见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可*；（2）利用基本不等式及不等式的*质*即可．【小问1详解】*：因为false，false，false，则false，false，false，所以false，即false，所以false，当且仅当false，即false时取等号．【小问2详解】*：因为false，false，false，所以false，false，false，所以false，false，falsefalse当且仅当false时取等号．本试题由公众号《高中僧试卷》团队综合整理，有些素材搜集于网络，若有疑问，欢迎联系！