高考_高考数学真题试卷_地方卷高考文科数学_2020年高考真题——数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）（解析版）

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考*号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题*后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的*标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它*标号框.回答非选择题时，将*写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知*A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A.falseB.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2}D.{–2，2}【*】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简*false的表示，再根据*交集的定义进行求解即可.【详解】因为false，false或false，所以false.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查*交集的定义，属于基础题.2.（1–i）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【*】A【解析】【分析】根据指数幂的运算*质，结合复数的乘方运算*质进行求解即可.【详解】false.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算*质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【*】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足false，原位小三和弦满足false从false开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：false．∴false；false；false；false；false．原位小三和弦满足：false．∴false；false；false；false；false．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【*】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为false，故需要志愿者false名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A.a+2bB.2a+bC.a–2bD.2a–b【*】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算*质，结合两平面向量垂直数量积为零这一*质逐一判断即可.【详解】由已知可得：false.A：因为false，所以本选项不符合题意；B：因为false，所以本选项不符合题意；C：因false，所以本选项不符合题意；D：因为false，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算*质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一*质，考查了数学运算能力.6.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则false=（）A.2n–1B.2–21–nC.2–2n–1D.21–n–1【*】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前false项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为false，由false可得：false，所以false，因此false.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前false项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（）A.2B.3C.4D.5【*】C【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的false值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得*.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的false值模拟程序的运行过程false第1次循环，falsefalse，false为否第2次循环，falsefalse，false为否第3次循环，falsefalse，false为否第4次循环，falsefalse，false为是退出循环输出false.故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线false的距离为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为false，可得圆的半径为false，写出圆的标准方程，利用点false在圆上，求得实数false的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线false的距离.【详解】由于圆上的点false在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为false，则圆的半径为false，圆的标准方程为false.由题意可得false，可得false，解得false或false，所以圆心的坐标为false或false，圆心到直线false的距离均为false；所以，圆心到直线false的距离为false.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设false为坐标原点，直线false与双曲线false的两条渐近线分别交于false两点，若false的面积为8，则false的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【*】B【解析】【分析】因为false，可得双曲线的渐近线方程是false，与直线false联立方程求得false，false两点坐标，即可求得false，根据false的面积为false，可得false值，根据false，结合均值不等式，即可求得*.【详解】falsefalsefalse双曲线的渐近线方程是falsefalse直线false与双曲线false的两条渐近线分别交于false，false两点不妨设false为在第一象限，false在第四象限联立false，解得false故false联立false，解得false故falsefalsefalsefalsefalse面积为：falsefalse双曲线falsefalse其焦距为false当且仅当false取等号falsefalse的焦距的最小值：false故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数false,则false（）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【*】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为false，利用定义可得出函数false为奇函数，再根据函数的单调*法则，即可解出．【详解】因为函数false定义域为false，其关于原点对称，而false，所以函数false为奇函数．又因为函数false在false上单调递增，在false上单调递增，而false在false上单调递减，在false上单调递减，所以函数false在false上单调递增，在false上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的*质，属于基础题．11.已知△ABC是面积为false的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.falseB.falseC.1D.false【*】C【解析】【分析】根据球false的表面积和false的面积可求得球false的半径false和false外接圆半径false，由球的*质可知所求距离false.【详解】设球false的半径为false，则false，解得：false.设false外接圆半径为false，边长为false，false是面积为false的等边三角形，false，解得：false，false，false球心false到平面false的距离false.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的*质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若false，则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】A【解析】【分析】将不等式变为false，根据false的单调*知false，以此去判断各个选项中真数与false的大小关系，进而得到结果.【详解】由false得：false，令false，false为false上的增函数，false为false上的减函数，false为false上的增函数，false，false，false，false，则A正确，B错误；false与false的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调*得到false的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若false，则false__________．【*】false【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】false.故*为：false.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记false为等差数列false的前n项和．若false，则false__________．【*】false【解析】【分析】因为false是等差数列，根据已知条件false，求出公差，根据等差数列前false项和，即可求得*.【详解】falsefalse是等差数列，且false，false设false等差数列的公差false根据等差数列通项公式：false可得false即：false整理可得：false解得：falsefalse根据等差数列前false项和公式：false可得：falsefalsefalse.故*为：false.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前false项和，解题关键是掌握等差数列的前false项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x，y满足约束条件false则false的最大值是__________．【*】false【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线false，在平面区域内找到一点使得直线false在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线false，当直线经过点false时，直线false在纵轴上的截距最大，此时点false的坐标是方程组false的解，解得：false，因此false的最大值为：false.故*为：false.【点睛】本题考查了线*规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线lfalse平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①false②false③false④false【*】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题false的真假；利用三点共线可判断命题false的真假；利用异面直线可判断命题false的真假，利用线面垂直的定义可判断命题false的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题false，可设false与false相交，这两条直线确定的平面为false；若false与false相交，则交点false在平面false内，同理，false与false的交点false也在平面false内，所以，false，即false，命题false真命题；对于命题false，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题false为假命题；对于命题false，空间中两条直线相交、平行或异面，命题false为假命题；对于命题false，若直线false平面false，则false垂直于平面false内所有直线，false直线false平面false，false直线false直线false，命题false为真命题.综上可知，false为真命题，false为假命题，false为真命题，false为真命题.故*为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、*过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知false．（1）求A；（2）若false，*：△ABC是直角三角形．【*】（1）false；（2）*见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，false可化为false，即可解出；（2）根据余弦定理可得false，将false代入可找到false关系，再根据勾股定理或正弦定理即可*出．【详解】（1）因为false，所以false，即false，解得false，又false，所以false；（2）因为false，所以false，即false①，又false②，将②代入①得，false，即false，而false，解得false，所以false，故false，即false是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得false，false，false，false，false.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表*以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r=false，false=1.414.【*】（1）false；（2）false；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式false计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表*，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为false，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为false（2）样本false的相关系数为false（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表*，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C1：false(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=false|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．【*】（1）false；（2）false：false，false：false.【解析】【分析】（1）根据题意求出false的方程，结合椭圆和抛物线的对称*不妨设false在第一象限，运用代入法求出false点的纵坐标，根据false，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆false的右焦点坐标为：false,所以抛物线false的方程为false，其中false.不妨设false在第一象限，因为椭圆false的方程为：false，所以当false时，有false，因此false的纵坐标分别为false，false；又因为抛物线false的方程为false，所以当false时，有false，所以false的纵坐标分别为false，false，故false，false.由false得false，即false，解得false（舍去），false.所以false的离心率为false.（2）由（1）知false，false，故false，所以false的四个顶点坐标分别为false，false，false，false，false的准线为false.由已知得false，即false.所以false的标准方程为false，false的标准方程为false.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）*：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=false，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【*】（1）*见解析；（2）false.【解析】【分析】（1）由false分别为false，false的中点，false，根据条件可得false，可*false，要*平面falsefalse平面false，只需*false平面false即可；（2）根据已知条件求得false和false到false的距离，根据椎体体积公式，即可求得false.【详解】（1）falsefalse分别为false，false的中点，false又falsefalse在等边false中，false为false中点，则false又false侧面false为矩形，falsefalsefalse由false，false平面falsefalsefalse平面false又falsefalse，且false平面false，false平面false，false平面false又falsefalse平面false，且平面false平面falsefalsefalse又false平面falsefalsefalse平面falsefalse平面falsefalse平面falsefalse平面false（2）过false作false垂线，交点为false，画出图形，如图falsefalse平面falsefalse平面false，平面false平面falsefalse又falsefalsefalsefalsefalsefalse为false的中心.falsefalse故：false，则false，false平面false平面false，平面false平面false，false平面falsefalsefalse平面false又false在等边false中false即false由（1）知，四边形false为梯形false四边形false的面积为：falsefalse，false为false到false的距离false，falsefalse.【点睛】本题主要考查了*线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求*线面垂直的*法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=false的单调*．【*】（1）false；（2）false在区间false和false上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式false转化为false，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数false求导，把导函数false分子构成一个新函数false，再求导得到false，根据false的正负，判断false的单调*，进而确定false的正负*，最后求出函数false的单调*.【详解】（1）函数false的定义域为：falsefalse，设false，则有false，当false时，false单调递减，当false时，false单调递增，所以当false时，函数false有最大值，即false，要想不等式false在false上恒成立，只需false；（2）false且false因此false，设false，则有false，当false时，false，所以false，false单调递减，因此有false，即false，所以false单调递减；当false时，false，所以false，false单调递增，因此有false，即false，所以false单调递减，所以函数false在区间false和false上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调*，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：false（θ为参数），C2：false（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【*】（1）false；false；（2）false.【解析】【分析】（1）分别消去参数false和false即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点false，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由false得false的普通方程为：false；由false得：false，两式作差可得false的普通方程为：false.（2）由false得：false，即false；设所求圆圆心的直角坐标为false，其中false，则false，解得：false，false所求圆的半径false，false所求圆的直角坐标方程为：false，即false，false所求圆的极坐标方程为false.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数false.（1）当false时，求不等式false的解集；（2）若false，求a的取值范围.【*】（1）false或false；（2）false.【解析】【分析】（1）分别在false、false和false三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到false，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当false时，false.当false时，false，解得：false；当false时，false，无解；当false时，false，解得：false；综上所述：false的解集为false或false.（2）false（当且仅当false时取等号），false，解得：false或false，false的取值范围为false.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.