高中常考的数学知识点：因式分解
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发布时间：2024-03-01 11:55:11
导语：将一个多项式转化为几个整式的积的形式，这种变形称为多项式的因式分解。以下是高中数学常考的知识点，供您参考，欢迎阅读，更多相关知识请关注CNFLA学习网！
1、提公因法
当一个多项式的各项都含有公因式时，可以将这个公因式提取出来，将多项式化简为两个因式的乘积形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
x
−
2
x
−
x
=
x
(
x
−
2
x
−
1
)
x-2x-x = x(x-2x-1)x−2x−x=x(x−2x−1)
2、应用公式法
由于因式分解与整式乘法相反，可以反向使用乘法公式来进行因式分解。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
解：a
+
4
a
b
+
4
b
=
(
a
+
2
b
)
a+4ab+4b = (a+2b)a+4ab+4b=(a+2b)
3、分组分解法
对于多项式a
m
+
a
n
+
b
m
+
b
n
am+an+bm+bnam+an+bm+bn，可以先将前两项和后两项分别分组，提取公因式，然后再提取公因式m
+
n
m+nm+n，从而得到因式分解。
例3、分解因式m
+
5
n
−
m
n
−
5
m
m+5n-mn-5mm+5n−mn−5m
解：m
+
5
n
−
m
n
−
5
m
=
m
−
5
m
−
m
n
+
5
n
=
(
m
−
5
m
)
+
(
−
m
n
+
5
n
)
=
m
(
m
−
5
)
−
n
(
m
−
5
)
=
(
m
−
5
)
(
m
−
n
)
m+5n-mn-5m = m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5) = (m-5)(m-n)m+5n−mn−5m=m−5m−mn+5n=(m−5m)+(−mn+5n)=m(m−5)−n(m−5)=(m−5)(m−n)
4、十字相乘法
对于形如m
x
+
p
x
+
q
mx+px+qmx+px+q的多项式，如果a
×
b
=
m
a \times b = ma×b=m，c
×
d
=
q
c \times d = qc×d=q，且a
c
+
b
d
=
p
ac+bd=pac+bd=p，则多项式可因式分解为(
a
x
+
d
)
(
b
x
+
c
)
(ax+d)(bx+c)(ax+d)(bx+c)。
例4、分解因式7
x
−
19
x
−
6
7x-19x-67x−19x−6
解：7
x
−
19
x
−
6
=
(
7
x
+
2
)
(
x
−
3
)
7x-19x-6 = (7x+2)(x-3)7x−19x−6=(7x+2)(x−3)
5、*法
对于那些无法使用公式法的多项式，可以尝试将其配成一个完全平方的形式，然后再利用平方差公式进行因式分解。
例5、分解因式x
2
+
3
x
−
40
x^2+3x-40x2+3x−40
解：x
2
+
3
x
−
40
=
x
2
+
3
x
+
(
)
−
(
)
−
40
=
(
x
+
8
)
(
x
−
5
)
x^2+3x-40 = x^2+3x+()-()-40 = (x+8)(x-5)x2+3x−40=x2+3x+()−()−40=(x+8)(x−5)
6、拆、添项法
将多项式拆分成若干部分，然后进行因式分解。
例6、分解因式b
c
(
b
+
c
)
+
c
a
(
c
−
a
)
−
a
b
(
a
+
b
)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c−a)−ab(a+b)
解：b
c
(
b
+
c
)
+
c
a
(
c
−
a
)
−
a
b
(
a
+
b
)
=
b
c
(
c
−
a
+
a
+
b
)
+
c
a
(
c
−
a
)
−
a
b
(
a
+
b
)
=
b
c
(
c
−
a
)
+
c
a
(
c
−
a
)
+
b
c
(
a
+
b
)
−
a
b
(
a
+
b
)
=
c
(
c
−
a
)
(
b
+
a
)
+
b
(
a
+
b
)
(
c
−
a
)
=
(
c
+
b
)
(
c
−
a
)
(
a
+
b
)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) = bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) = bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) = c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) = (c+b)(c-a)(a+b)bc(b+c)+ca(c−a)−ab(a+b)=bc(c−a+a+b)+ca(c−a)−ab(a+b)=bc(c−a)+ca(c−a)+bc(a+b)−ab(a+b)=c(c−a)(b+a)+b(a+b)(c−a)=(c+b)(c−a)(a+b)
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