高中_数学_数学选修_选修4-1_高中数学人教A版选修4-1学业分层测评含解析_高中数学人教A版选修4-1学业分层测评3相似三角形的判定含解析

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是(　　)INCLUDEPICTURE"A111.TIF"图1­3­12A．②③④　　B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥【解析】　由相似三角形判定定理知选B.【*】　B2．如图1­3­13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝，且eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,)，下列结论中正确的是(　　)INCLUDEPICTURE"75.TIF"图1­3­13A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA【解析】　∵CM＝，∴∠CMN＝∠M.∵∠AMB＝∠M＋∠M，∠ANC＝∠CMN＋∠M，∴∠AMB＝∠ANC.又eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,)，∴△ANC∽△AMB.【*】　B3．如图1­3­14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则eq\f(AO,DO)等于(　　)【导学号：07370013】INCLUDEPICTURE"76.TIF"图1­3­14A.eq\f(2,5)eq\r(5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)【解析】　∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(AE,DA)＝eq\f(1,2).【*】　D4．如图1­3­15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，则有(　　)INCLUDEPICTURE"SC20.tif"图1­3­15A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD【解析】　因为∠A＝∠C，eq\f(BC,AE)＝eq\f(CD,AD)＝2，所以△AED∽△CBD.【*】　B5.如图1­3­16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为(　　)INCLUDEPICTURE"77.TIF"图1­3­16A．4B．4.5C．5D．6【解析】　∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴eq\f(FG,GC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.【*】　D二、填空题6．如图1­3­17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.INCLUDEPICTURE"Q32.TIF"图1­3­17【解析】　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(ABAB＋BC,AD)＝eq\f(4×4＋2,3)＝8，则DE＝AE－AD＝5，在Rt△ACE中，CE＝eq\r(AE2－AC2)＝eq\r(82－4＋22)＝2eq\r(7).【*】　5　2eq\r(7)7．如图1­3­18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.INCLUDEPICTURE"+++1.tif"图1­3­18【解析】　由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：Rt△ABE∽Rt△ADC，故eq\f(AE,AC)＝eq\f(AB,AD)∴AE＝eq\f(6×4,12)＝2.【*】　28.如图1­3­19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.【导学号：07370014】INCLUDEPICTURE"79.TIF"图1­3­19【解析】　∵DE∶EC＝1∶2，∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，∴eq\f(BF,EF)＝eq\f(AB,EC)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(3,5).【*】　3∶5三、解答题9．如图1­3­20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.求*：PB2＝PE·PF.INCLUDEPICTURE"81A.TIF"图1­3­20【*】　连接PC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PBD＝∠PCD，∴∠ABP＝∠ACP.又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，而∠CPE＝∠FPC.∴△PCE∽△PFC，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(PC,PF)，∴PC2＝PE·PF，即PB2＝PE·PF.10.如图1­3­21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．INCLUDEPICTURE"82.TIF"图1­3­21(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】　(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，BE＝1700－500＝1200米，∴AE＝eq\r(12002＋9002)＝1500(米)，由△ABE∽△CFE，得到eq\f(CF,AB)＝eq\f(CE,AE)，即eq\f(CF,900)＝eq\f(500,1500)，可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，得eq\f(BH,CF)＝eq\f(BE,CE)，即eq\f(BH,300)＝eq\f(1200,500)，可得BH＝720(米)．由△ABE∽△DGA，得eq\f(AB,DG)＝eq\f(AE,AD)，即eq\f(900,DG)＝eq\f(1500,1700)，可得DG＝1020(米)．所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元)．[能力提升]1.如图1­3­22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是(　　)INCLUDEPICTURE"SC21.tif"图1­3­22A.eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,BC)　　　B.eq\f(AD,CD)＝eq\f(AC,BC)C．AC2＝CD·CBD．CD2＝AC·AB【解析】　∠C＝∠C，只有eq\f(AC,CD)＝eq\f(CB,AC)，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.【*】　C2．如图1­3­23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是(　　)INCLUDEPICTURE"SC22.tif"图1­3­23A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD【解析】　设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝eq\r(2)a，BD＝2a，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,AB)，且∠ABC＝∠DBA，∴△BAC∽△BDA.【*】　C3．如图1­3­24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.INCLUDEPICTURE"SC21A.tif"图1­3­24【解析】　由eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)即可得到．【*】　eq\f(b2,a)4．如图1­3­25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．INCLUDEPICTURE"SX3+.tif"图1­3­25(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似*你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设eq\f(AB,BC)＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，*你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．【解】　(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴eq\f(EF,EC)＝eq\f(AF,DE)，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,EC)＝eq\f(AF,AE).又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CD,2DE)＝eq\f(\r(3),2)，即k＝eq\f(\r(3),2).反过来，在k＝eq\f(\r(3),2)时，eq\f(DE,CD)＝eq\f(1,\r(3))，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.